Question

11．設(shè)$f（x）=\frac{{{2^x}+a}}{{{2^{x+1}}+b}}$是定義在R上的奇函數(shù)（a，b為實常數(shù)）．
（1）求a與b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0，求出a的值，根據(jù)f（-x）=-f（x），求出b的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）f（x）是奇函數(shù)時，
∵$f（0）=\frac{1+a}{2+b}=0$，
∴a=-1…（3分），
又∵f（-x）=-f（x），
即$\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x+1}}+b}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+b}}$對任意實數(shù)x成立，
化簡整理得（b-2）•2^x+（b-2）•2^-x+（2b-4）=0，
這是關(guān)于x的恒等式，所以b=2…（7分）
（2）$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴$0＜{2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
∴f（x₁）＜f（x₂）
即函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，…（ 12分），
∵2^x+1＞1，∴$0＜\frac{1}{{{2^x}+1}}＜1$，
從而$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$；
所以函數(shù)f（x）的值域為$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．…（ 15分）

點評 本題考查了奇函數(shù)的定義，考查通過定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．