Question

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理即可證明．， ，所以平面 ；

（2）利用空間向量求解，平面與平面所成銳二面角的余弦值即為兩平面的法向量所成角或補角的余弦值．以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求平面的一個法向量；平面的一個法向量，所以則.

(1)平面，平面，

由已知條件得：，，所以平面 （5分）

由（1）結(jié)合已知條件以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：

，，，，，所以

7分

設(shè)是平面的一個法向量，則，

即：，取，則得：

同理可求：平面的一個法向量 10分

設(shè)：平面和平面成角為，

則 12分

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理、空間向量法求二面角.