Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足：（Ⅰ）對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3；（Ⅱ）f（1）=4；（Ⅲ）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x∈(

1

3

，1]時(shí)，f（x）＜3x+3．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0可得，f（0）≤3，結(jié)合已知可知f（0）≥3，從而可求f（0）
（2）任取x₁＜x₂∈[0，1]，則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，則可得f（x）≤f（1），從而可求函數(shù)的最大值
（3）由已知可證，x∈(

1

3

，1]時(shí)，f（x）≤f（1）=4，3x+3＞4，可證

解答：解：（1）令x₁=x₂=0可得，f（0）≥2f（0）-3
∴f（0）≤3
∵對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3
∴f（0）≥3
∴f（0）=3
（2）任取x₁＜x₂∈[0，1]
則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3
由x₂-x₁＞0可得f（x₂-x₁）≥3
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤f（1）=4
∴函數(shù)的最大值為4
（3）證明：當(dāng)x∈(

1

3

，1]時(shí)，f（x）≤f（1）=4=1+3
x∈(

1

3

，1]時(shí)，3x+3＞3×

1

3

+3=4
∴f（x）＜3x+3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)利用賦值法求解函數(shù)的函數(shù)值，及利用構(gòu)造法證明函數(shù)的單調(diào)性及由函數(shù)的單調(diào)性解不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用．