Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=b_n+2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=an•bn(n∈N*)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2，知a₁=2，由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，知{a_n}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2．由b_n+1=b_n+2（n∈N*），知b_n+1-b_n=2，故{b_n}是等差數(shù)列，且公差為2，由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由cn=n•2n+1，知Tn=22+2×23+…+n•2n+1，利用錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）∵S_n=2a_n-2，∴a₁=2，（2分）
∵a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2(n≥2，n∈N*)，（4分）
∴{a_n}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，∴an=2n，
∵b_n+1=b_n+2（n∈N*），∴b_n+1-b_n=2，（7分）
∴{b_n}是等差數(shù)列，且公差為2，
∵b₁=2，∴b_n=2n．（9分）
（2）∵cn=n•2n+1，（10分）
∴Tn=22+2×23+…+n•2n+1，①
2Tn=23+2×24+…+(n-1)×2n+1+n×2n+2，②
①-②得-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2，
∴Tn=4+(n-1)•2n+2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的能通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．