Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)于，令n=1即可證明；
（2）利用，且，（n≥2），兩式相減即可求出通項(xiàng)公式．
（3）由（2）可得=．利用“裂項(xiàng)求和”即可證明．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，
∵
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，滿足，且，
∴，
∴，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是公差d=2的等差數(shù)列．
∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，∴，，解得a₂=3，
由（1）可知，，∴a₁=1∵a₂-a₁=3-1=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1．
（3）由（2）可得式=．
∴

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解題的關(guān)鍵．