Question

A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，
過點(diǎn)D引割線交⊙O于B，C兩點(diǎn)，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

12 2x

的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=t y=1+2t

（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=

1-x

+

4+2x

的最大值．

Answer 1

分析：A 由切割線定理得到 DP²=DA²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．  因?yàn)椤螧DP=∠PDC，可得△BDP∽△PDC，從而，∠DPB=∠DCP．
B 寫出矩陣M的特征多項(xiàng)式 f（λ），由λ₁=3方程f（λ）=0的一根，令x=1 得特征值 λ₂=-1，求出它對(duì)應(yīng)的特征向量．
C把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離小于半徑，故直線l和⊙C相交．
D y=

1-x

+

4+2x

=（

1-x

，

2+x

）•（1，

2

），由|

a

•

b

|≤|

a

| • |

b

| 求得函數(shù)的最大值．

解答：解：A．因?yàn)镻A與圓相切于A，所以，DA²=DB•DC，因?yàn)镈為PA中點(diǎn)，所以，DP=DA，
所以，DP²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．  因?yàn)椤螧DP=∠PDC，所以，△BDP∽△PDC，
所以，∠DPB=∠DCP．
B．矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)=

.

λ-1 ，-2 -2 ，λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4
因?yàn)棣?SUB>1=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1，
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，
設(shè)λ₂=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

x y

，
則

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得 x=-y，令x=1，則y=-1，
所以矩陣M的另一個(gè)特征值為-1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

1 -1

C．消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=2x+1；ρ=2

2

(sinθ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），
兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+（x-1）²=2，
圓心C到直線l的距離d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，所以，直線l和⊙C相交．
D．因?yàn)?span id="fnv8ske" class="MathJye">y=

1-x

+

4+2x

=（

1-x

，

2+x

）•（1，

2

），由|

a

•

b

|≤|

a

| • |

b

| 求得
∴y的最大值為3，
當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，即

1

1-x

=

2

2+x

時(shí)取“=”號(hào)，即當(dāng)x=0時(shí)，y_max=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系的判定，矩陣的特征值與特征向量的定義．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．