Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P為A₁B上的點(diǎn)．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，AB⊥PC；
（2）當(dāng)二面角P-AC-B的大小為時(shí)，求的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)=1時(shí)．作PD∥A₁A交AB于D，連CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC．
當(dāng)P為A₁B中點(diǎn)時(shí)，D為AB中點(diǎn)．
∵△ABC為正三角形，∴CD⊥AB．∴PC⊥AB（三垂線定理）．

（2）過(guò)D作DE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，
∴∠DEP為二面角P-AC-B的平面角，∠DEP=．
∴tan∠PED==．
∴PD=DE．
∵DE=AD•sin60°=AD，
∴PD=DE=×AD=AD．
又∵PD∥A₁A，
∴PD=BD．
∴==．
分析：（1）當(dāng)=1，作PD∥A₁A交AB于D，連CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC，當(dāng)P為A₁B中點(diǎn)時(shí)，D為AB中點(diǎn)，而△ABC為正三角形，則CD⊥AB，根據(jù)三垂線定理可得PC⊥AB．
（2）過(guò)D作DE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠DEP為二面角P-AC-B的平面角，在三角形PED中求出PD與DE的關(guān)系，根據(jù)DE=AD•sin60°=AD，得到PD與AD的關(guān)系，而PD∥A₁A，則PD=BD，從而求出的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及三垂線定理和與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，同時(shí)考查了學(xué)生計(jì)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．