Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）求△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．

Answer 1

解：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n
則根據(jù)橢圓的定義，得m+n=2a，…．①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°
∴由余弦定理，得m²+n²-mn=4c²…．②
①②聯(lián)解，得
又∵，
∴≤a²，化簡(jiǎn)整理，得a²＜4c²，解之得
即橢圓離心率的取值范圍是[，1）
（2）由（1），得=b²
∴
面積表達(dá)式中的字母只含有b，可得△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．
分析：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．根據(jù)橢圓的定義和余弦定理，建立關(guān)于m、n的方程組，聯(lián)解可得m、n關(guān)于a、c的式子，再根據(jù)基本不等式得mn≤a²，建立關(guān)于a、c的不等式，變形整理即可得到橢圓離心率的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可算出△F₁PF₂的面積等于b²，由此可得△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，求三角形的面積并討論橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．