已知f(x)=x(x-a)(x-b),點(diǎn)A(s,f(s)),B(t,f(t)).

(1)若a=b=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足:當(dāng)|x|≤1時(shí),有恒成立,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式;

(3)若0<a<b,函數(shù)f(x)在x=s和x=t處取得極值,且a+b=,證明:不可能垂直.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ),

  令,解得

  故的增區(qū)間

  (Ⅱ)(x)=

  當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),恒有|(x)|≤. 4分

  故有(1)≤,(-1)≤,

  及(0)≤, 5分

  即 6分

 、伲冢, 8分

  又由③,得,將上式代回①和②,得

  故. 9分

  (Ⅲ)假設(shè),

  即 10分

  故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1

  [st-(st)aa2][st-(st)bb2]=-1, 11分

  由s,t為(x)=0的兩根可得,s+t=(a+b),st=,(0<a<b)

  從而有ab(a-b)2=9. 12分

  這樣

  即≥2,這與<2矛盾. 13分

  故不可能垂直. 14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知f(x)=(x∈R),在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知f(x)=x+1,若f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),則g(x)為( )


  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=|x|(x-4).

(1)把f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式;

(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象;

(3)利用圖象回答:當(dāng)k為何值時(shí),方程|x|(x-4)=k有一解?有兩解?有三解?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調(diào)遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).

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已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線過(guò)點(diǎn)A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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