Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，
（1）若點A的橫坐標是$\frac{3}{5}$，點B的縱坐標是$\frac{12}{13}$，求sin（α+β）的值；
（2）若|AB|=$\frac{3}{2}$，求cos（β-α）的值；
（3）已知點C（-1，3 ），求函數(shù)f（α）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的值域．

Answer 1

分析 （1）通過題意求出A、B點坐標，進而利用兩角和的正弦公式計算即可；
（2）通過|AB|=$\frac{3}{2}$，利用$|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|}^{2}$=$\frac{9}{4}$計算即得結(jié)論；
（3）通過設(shè)$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$，可知f（α）=3sinα-cosα，利用α為銳角即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得A的坐標為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，B點坐標$（-\frac{5}{13}，\frac{12}{13}）$，
根據(jù)三角函數(shù)定義，$sinα=\frac{3}{5}，cosα=\frac{4}{5}，sinβ=\frac{12}{13}，cosβ=-\frac{5}{13}$，
∴$sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{4}{5}×\frac{12}{13}=\frac{33}{65}$；
（2）∵|AB|=$\frac{3}{2}$，
∴$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|^2}={\overrightarrow{OB}^2}+{\overrightarrow{OA}^2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1+1-2cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞=\frac{9}{4}$，
∴$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞=-\frac{1}{8}$，即$cos（β-α）=-\frac{1}{8}$；
（3）由題意可知，$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow{OC}$=（-1，3 ），
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=3sinα-cosα，
又∵α為銳角，
∴-1＜f（α）＜3．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．