Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為

1

2

，右準(zhǔn)線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線AM與直線l交于點(diǎn)P．
（1）求橢圓C的方程；  
（2）若

AM

=

MP

，求

BM

•

BP

；
（3）連結(jié)PB并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)N，若直線MN垂直于x軸，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

c a = 1 2 a2 c =4

，及b²=a²-c²解得即可；
（2）由（1）可得A（-2，0），x_P=4．由

AM

=

MP

，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x_M，代入橢圓可得y_M．再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．
（3）由于MN垂直于x軸，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．可得直線AM的方程與直線BN的方程，利用交點(diǎn)P的坐標(biāo)，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知可得

e= c a = 1 2 a2 c =4 b2=a2-c2

，解得

a=2，c=1 b2=3

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可得A（-2，0），x_P=4．
∵

AM

=

MP

，∴x_M=

-2+4

2

=1，代入橢圓得

1

4

+

y 2 M

3

=1，
解得y_M=±

3

2

，即M（1，±

3

2

），
∴直線AM為：y=±

1

2

（x+2），得P（4，±3），
∴

BM

=（-1，±

3

2

），

BP

=（2，±3）． 
∴

BM

•

BP

=-1×2+

3

2

×3=

5

2

，或

BM

•

BP

=-1×2-

3

2

×(-3)=

5

2

．
（3）∵M(jìn)N垂直于x軸，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

（x+2），∴y_p=

6y1

x1+2

，
直線BN的方程為：y=

-y1

x1-2

（x-2），∴y_p=

-2y1

x1-2

，
∴

6y1

x1+2

=

-2y1

x1-2

．
∵y₁≠0，∴

6

x1+2

=-

2

x1-2

．
解得x₁=1．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，±

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．