已f(x)=
1
3
x3+ax2+
8
9
x+bg(x)=
1
3
x3+m2x-
2
3
m+1,且函數(shù)f(x)在x=
2
3
處取得極值
20
81

(I)求f(x)的解析式與單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m,對(duì)任意的x1∈[-1,2],都存在x0∈[0,1],使得g(x0)=3f(x1)成立?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(I)已知f(x)的解析式,對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)f(x)在x=
2
3
處取得極值
20
81
可得f′(
2
3
)=0,f(
2
3
)=
20
81
,可以得到f(x)的解析式,然后利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)假設(shè)存在,則由(I)已知f(x)的單調(diào)區(qū)間,當(dāng)x1∈[-1,2],可以求出f(x)的值域,進(jìn)而求出3f(x)的范圍,對(duì)于g(x)進(jìn)行求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)其為增函數(shù),從而求出g(x)在[0,1]上的最值,然后進(jìn)行判斷;
解答:解:(I)f′(x)=x2+2ax+
8
9
f′(
2
3
)=
4
9
+
4
3
a+
8
9
=0
得a=-1,
f(
2
3
)=
20
81
,b=0,則 f(x)=
1
3
x3-x2+
8
9
x

f′(x)=x2-2x+
8
9
令f′(x)>0得x>
4
3
或x<
2
3

f′(x)<0得
2
3
<x<
4
3
;
f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,
2
3
),(
4
3
,+∞)
; 
遞減區(qū)間為(
2
3
,
4
3
)


( II)由(1)得
   x -1 (-1,
2
3
2
3
2
3
,
4
3
4
3
4
3
,2)
2
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) -
20
9
20
81
16
81
4
9
所以當(dāng)x1∈[1,2]時(shí),-
20
9
≤f(x1)≤
4
9
-
20
3
≤3f(x1)≤
4
3
…(10分)
假設(shè)對(duì)任意的x1∈[-1,2]時(shí)都存在x0∈[0,1]時(shí)使得g(x0)=3f(x1)成立,
設(shè)g(x0)的最大值為T,最小值為t,則要求T≥
4
3
,t≤-
20
3

又g'(x)=x2+m2,所以當(dāng)x0∈[0,1]時(shí)時(shí)T=g(1)=
1
3
+m2-
2
3
m+1
4
3
,m≥
2
3
,或m≤0

t=g(0)=-
2
3
m+1≤-
20
3
,m≥
23
2

綜上,m≥
23
2
;
點(diǎn)評(píng):此題是關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合題,考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值,是一道難題;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+cx+d有極值.
(Ⅰ)求c的取值范圍;
(Ⅱ)若f(x)在x=2處取得極值,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)<
1
6
d2+2d恒成立,求d的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b,
(1)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值-
4
3
,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若a=1,且函數(shù)f(x)在[-1,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•德陽二模)已知x1,x2為三次函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx
的兩個(gè)極值點(diǎn),且x1∈(0,1),x2∈(1,2),則a-2b的范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已f(x)=
1
3
x3+ax2+
8
9
x+bg(x)=
1
3
x3+m2x-
2
3
m+1,且函數(shù)f(x)在x=
2
3
處取得極值
20
81

(I)求f(x)的解析式與單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m,對(duì)任意的x1∈[-1,2],都存在x0∈[0,1],使得g(x0)=3f(x1)成立?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,說明理由.

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