Question

設函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個極值點x₁和x₂，記過點A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

思路分析　先求導，通分后發(fā)現(xiàn)f′(x)的符號與a有關(guān)，應對a進行分類，依據(jù)方程的判別式來分類．

解析　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝1＋－＝.

令g(x)＝x²－ax＋1，其判別式Δ＝a²－4.

①當|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

②當a＜－2時，Δ＞0，g(x)＝0的兩根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

③當a＞2時，Δ＞0，g(x)＝0的兩根為x₁＝，

x₂＝.

當0＜x＜x₁時，f′(x)＞0，當x₁＜x＜x₂時，f′(x)＜0；

當x＞x₂時，f′(x)＞0.故f(x)分別在(0，x₁)，(x₂，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x₁，x₂)上單調(diào)遞減．

(2)由(1)知，a＞2.

因為f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋－a(ln x₁－ln x₂)，所以，k＝＝1＋－a·.

又由(1)知，x₁x₂＝1，于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a，則＝1.

即ln x₁－ln x₂＝x₁－x₂.

由x₁x₂＝1得x₂－－2ln x₂＝0(x₂＞1)．(*)

再由(1)知，函數(shù)h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而x₂＞1，所以x₂－－2ln x₂＞1－－2 ln 1＝0.這與(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.