Question

15．已知平面上三點(diǎn)A，B，C，$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），$\overrightarrow{AC}$=（2，4）．
（1）若三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k的值是$\frac{1}{2}$，
（2）若△ABC為直角三角形，且∠B=90°，則k的值是3或-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件利用A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，有 $\overrightarrow{BC}$=λ $\overrightarrow{AC}$，帶入坐標(biāo)即可求k．
（2）△ABC為直角三角形，所以兩條直角邊相互垂直，所以對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，從而求出k的值．

解答 解：（1）∵A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，∴三點(diǎn)A，B，C共線；
∴存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{BC}$=λ$\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}2-k=2λ\\ 3=4λ\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴k滿足的條件是：k=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），$\overrightarrow{AC}$=（2，4）．
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$=（k-2，-3）-（-2，-4）=（k，1）
∵△ABC為直角三角形；
∴若∠B是直角，則$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-k²+2k+3=0，解得k=-1或3；
綜上可得k的值為：3或-1．
故答案為：3或-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：共線向量基本定理，向量的相等，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，相互垂直的兩向量的數(shù)量積為0，注意第二問對(duì)于角為直角的討論．