Question

如圖，已知棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯  形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=PB=BC=1，
AB=2，且PB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）試在棱PB上求一點(diǎn)M，使CM∥平面PDA；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，求三棱錐P-ADM的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取PB得中點(diǎn)M，則有CM∥平面PDA，證明如下：取AB中點(diǎn)N，則MN∥PA，PA?平面PDA，MN?平面PDA，所以MN∥平面PDA．由題意得四邊形ANCD是平行四邊形，所以CN∥AD，AD?平面PDA，CN?平面PDA，所以CN∥平面PDA，所以平面MCN∥平面PDA，∴CN∥平面PDA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）：M為PB的中點(diǎn)，則V_P-ADM=V_B-ADM，在△ABD中，AB-2，AB邊上的高h(yuǎn)=BC=1，∴
BM=，所以三棱錐P-ADM的體積是．
解答：解：（Ⅰ）取PB得中點(diǎn)M，則有CM∥平面PDA，證明如下：
取AB中點(diǎn)N，則MN∥PA，PA?平面PDA，MN?平面PDA，
∴MN∥平面PDA
連接CN，則AN∥CD且AN=CD=1，
∴四邊形ANCD是平行四邊形
∴CN∥AD，AD?平面PDA，CN?平面PDA，
∴CN∥平面PDA
又MN∩CN=N，∴平面MCN∥平面PDA，CM?平面MCN
∴CN∥平面PDA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）：M為PB的中點(diǎn)，則V_P-ADM=V_B-ADM
在△ABD中，AB-2，AB邊上的高h(yuǎn)=BC=1，
∴
BM=，∴
所以三棱錐P-ADM的體積是．
點(diǎn)評(píng)：解決探索性問(wèn)題應(yīng)該先利用代點(diǎn)檢驗(yàn)的方法找到點(diǎn)，一般是線段的端點(diǎn)或線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積時(shí)當(dāng)三棱錐的高與底面積不易求時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件判斷是否存在于已知三棱錐體積相等的三棱錐．