Question

12．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）實軸長等于20，離心率等于$\frac{5}{2}$；
（2）已知橢圓的方程式$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，雙曲線E的一條漸近線方程是3x+4y=0，且雙曲線E以橢圓的頂點為焦點．

Answer 1

分析 （1）利用長軸長等于20，離心率等于$\frac{5}{2}$，求出a，b，c，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓的方程式$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，頂點為（±$\sqrt{10}$，0），（0，±$\sqrt{5}$），再分類討論，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）∵實軸長等于20，離心率等于$\frac{5}{2}$，
∴2a=20，$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{2}$，
∴a=10，c=25，b=$\sqrt{525}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{100}-\frac{{y}^{2}}{525}=1$；
（2）橢圓的方程式$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，頂點為（±$\sqrt{10}$，0），（0，±$\sqrt{5}$），
雙曲線的焦點為（±$\sqrt{10}$，0），c=$\sqrt{10}$，$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，∴a=$\sqrt{\frac{32}{5}}$，b=$\sqrt{\frac{18}{5}}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{32}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{18}{5}}=1$；
雙曲線的焦點為（0，±$\sqrt{5}$），c=$\sqrt{5}$，$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，∴a=$\sqrt{\frac{9}{5}}$，b=$\sqrt{\frac{16}{5}}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{5}}=1$．
綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{32}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{18}{5}}=1$，或$\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{5}}=1$．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定幾何量是關(guān)鍵．