Question

已知角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓O交于點A（x₁，y₁），將射線OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

2π

3

后與單位圓O交于點B（x₂，y₂），f（α）=x₁-x₂；
（Ⅰ）若角α為銳角，求f（α）的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=

3

2

，c=3，△ABC的面積為3

3

，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）根據(jù)A與B為單位圓上的點，利用三角函數(shù)定義得到x₁=cosα，x₂=cos（α+

2π

3

），進而表示出f（α），利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)α為銳角，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（α）的取值范圍；
（Ⅱ）由f（x）解析式，以及f（A）=

3

2

，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA與c的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)定義知，x₁=cosα，x₂=cos（α+

2π

3

），
f（α）=x₁-x₂=cosα-cos（α+

2π

3

）=

3

2

cosα+

3

2

sinα=

3

sin（α+

π

3

），
∵角α為銳角，
∴

π

3

＜α+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
∴

3

2

＜

3

sin（α+

π

3

）≤

3

，
則f（α）的取值范圍是（

3

2

，

3

]；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

得：sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=3

3

，c=3，
∴b=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=16+9-12=13，
則a=

13

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．