Question

△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A（1，1），O（0； 0），B（2，-1），P（x，y）是坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點(diǎn)，滿足

AP

•

OA

≤0，

BP

•

OB

≥0，則

OP

•

AB

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求得兩向量的數(shù)量積，得出關(guān)于x，y的約束條件，再作出可行域，再作出直線l₀：z=x-2y，將l₀平移與可行域有公共點(diǎn)，直線z=x-2y在y軸上的截距最大時(shí)，z有最小值，求出此時(shí)直線z=x-2y經(jīng)過(guò)的可行域內(nèi)的點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入z=x-2y中即可．

解答：
解：∵

AP

•

OA

=（x-1，y-1）•（1，1）=x+y-2≤0；①

BP

•

OB

=（x-2，y+1）•（2，-1）=2x-y-5≥0；②．

OP

•

AB

=（x，y）•（1，-2）=x-2y，③
畫出條件①②的平面區(qū)域，如圖，
設(shè)z=x-2y，
作出直線l₀：z=x-2y，將l₀平移至過(guò)點(diǎn)A（

7

3

，-

1

3

）處時(shí)，函數(shù)z=3x+y有最小值3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用及線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想．解答的步驟是有兩種方法：一種是：畫出可行域畫法，標(biāo)明函數(shù)幾何意義，得出最優(yōu)解．另一種方法是：由約束條件畫出可行域，求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證，求出最優(yōu)解．