Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為的正方形和高為的等腰梯形所在的平面互相垂直，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)使平面與平面垂直，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在，且此時(shí)的值為

【解析】

（Ⅰ）證明EF∥BD，OF∥ED．推出OF∥平面ADE；

（Ⅱ）取EF中點(diǎn)M，連結(jié)MO，得到MO⊥BD．證明MO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面ADE的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解直線BF與平面ADE所成角；

（Ⅲ）設(shè)，求出平面BCH的法向量，通過(guò)平面BCH與平面ADE垂直，則，轉(zhuǎn)化求解即可．

證明：（Ⅰ）因?yàn)檎�方�?/span>中，與交于點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以 且

所以為平行四邊形.

所以 .

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

解：（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樘菪?/span>為等腰梯形，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面，

平面平面,

所以平面.

又因?yàn)?/span>,

所以兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則

，

，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，所以.

設(shè)直線與平面所成角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）設(shè)，

則，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，.

所以.

若平面與平面垂直，則.

由，得.

所以線段OF上存在點(diǎn)使平面與平面垂直，

的值為.