Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

3

)為f（x）在點(diǎn)x=

2

3

處的導(dǎo)數(shù)，c為常數(shù)）．若函數(shù)f（x）的極小值小于0，則c的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令x=

2

3

得到關(guān)于f′（

2

3

）的方程，解方程求出f′（

2

3

）的值．再將f′（

2

3

）的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，根據(jù)表求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)的極小值，最后建立關(guān)于C的不等關(guān)系求解即可．

解答：解：由f（x）=x³+f′（

2

3

）x²-x+c，
得f′（x）=3x²+2f′（

2

3

）x-1．
取x=

2

3

，得f′（

2

3

）=3×（

2

3

）²+2f′（

2

3

）×（

2

3

）-1，
解之，得f′（

2

3

）=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+c．
從而f′（x）=3x²-2x-1=3（x+

1

3

）（x-1），列表如下：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-

1

3

，1）．
∴函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=-1+c，由題意得-1+c＜0，
∴c＜1．
則c的取值范圍是 （-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的變化情況表來(lái)解決；求函數(shù)在某區(qū)間函數(shù)單調(diào)性已知的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于或小于等于0恒成立問(wèn)題．