Question

已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個(gè)高為2的內(nèi)接圓柱．
（1）求圓柱的側(cè)面積：
（2）高為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件能畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，在圓錐內(nèi)部有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱，設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r．它的側(cè)面積S=2πrx，由

r

R

=

h-x

h

，能求出圓柱的側(cè)面積．
（2）由圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)S=-

2πR

h

x²+2πRx，能推導(dǎo)出當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的一半時(shí)，它的側(cè)面積最大．

解答：解：（1）圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面如圖所示．
設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r．它的側(cè)面積S=2πrx，
∵

r

R

=

h-x

h

，∴r=R-

R

h

•x，
∴S=2πRx-

2πR

h

x²．
當(dāng)x=2時(shí)，圓柱的側(cè)面積為4πR-

8πR

H

．
（2）由（1）知圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)：
S=-

2πR

h

x²+2πRx，
∵S的表達(dá)式中x²的系數(shù)小于0，
∴這個(gè)二次函數(shù)有最大值，
這時(shí)圓柱的高x=

H

2

，
即當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的一半時(shí)，它的側(cè)面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱的側(cè)面積的求法，考查圓柱的側(cè)面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．