Question

如圖，線段AB長度為2，點A，B分別在x非負(fù)半軸和y非負(fù)半軸上滑動，以線段AB為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD，BC=1，O為坐標(biāo)原點，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：令∠OAD=θ，由邊長為1，2的長方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上，可得出B，C的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內(nèi)積即可．
解答：解：如圖令∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如圖∠DAX=-θ，BC=1，故x_D=2cosθ+cos（ -θ）=2cosθ+sinθ，
y_D=sin（ -θ）=cosθ
故 =（2cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即 =（sinθ，cosθ+2sinθ），
∴=（2cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+2sinθ）=1+2sin2θ，
∵sin2θ∈[0，1]，∴的最大值是3，最小值是1，
故答案是：[1，3]．
點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，設(shè)角引入坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，由于向量的運算與坐標(biāo)關(guān)系密切，所以在研究此類題時應(yīng)該想到設(shè)角來表示點的坐標(biāo)．