Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)，（其中常數(shù)）

（1）當時，求的極大值；

（2）試討論在區(qū)間上的單調性；

（3）當時，曲線上總存在相異兩點、，使得曲線在點、處的切線互相平行，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）當時，

           …  …  …  …  …  1分

當或時，；當時，        

∴在和上單調遞減，在單調遞減              …   3分

故                   …  …  …  …  …  … …  4分（2）…5分

①當時，則，故時，；時，

此時在上單調遞減，在單調遞減；           …  …  …  6分

②當時，則，故，有恒成立，

此時在上單調遞減；                  …  …  …  …  …  …  7分

③當時，則，故時，；時，

此時在上單調遞減，在單調遞減            …  …  …  8分

（3）由題意，可得（，且）

即          …  …  9分

∵，由不等式性質可得恒成立，又

∴  對恒成立      11分

令，則對恒成立

∴在上單調遞增，∴                …  …  12分

故            …  …  …  …  …  …  …  … …  …  13分

從而“對恒成立”等價于“”

∴的取值范圍為               …  …  …  …  …  …  …  14分

 

【解析】略