Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

3

2

，直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求該橢圓方程．

Answer 1

分析：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由e=

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，于是a2=

4

3

c2=b2+c2，a²=4b²．設(shè)橢圓方程

x2

4b2

+

y2

b2

=1，與直線x+y+1=0聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用OP⊥OQ?

OQ

•

OQ

=0即可得出．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵e=

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，∴a2=

4

3

c2=b2+c2，∴a²=4b²．
設(shè)橢圓方程

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
聯(lián)立

x+y+1=0 x2 4b2 + y2 b2 =1

消y得5x²+8x+4-4b²=0，
∵直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，∴△=64-4×5×（4-4b²）＞0，化為5b³＞1．
∴

x1+x2=- 8 5 x1•x2= 4-4b2 5

（*）
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴2x₁x₂+x₁+x₂+1=0，
把（*）代入可得2

4-4b2

5

+（-

8

5

）+1=0，
解得b2=

5

8

，∴b=

10

4

．滿足△＞0．∴b2=

5

8

．
∴a2=

5

2

．
∴橢圓方程為

x2

5 2

+

y2

5 8

=1．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算與向量垂直的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．