Question

己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求點C到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C余弦值的大小．

Answer 1

分析：解法一--幾何法：
（I）根據(jù)已知中∠BCA=90°得BC⊥AC，由A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，可得A₁D⊥BC，結(jié)合線面垂直判定定理得BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC₁，又由BA₁⊥AC₁，再由線面垂直的判定定理，可得AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根據(jù)（I）的結(jié)論可得A₁ACC₁是菱形，進而根據(jù)AC=BC=2，我們可以根據(jù)VC-AA1B=VA1-ABC，得到點C到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）令A(yù)C₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，連AE，由（I）中結(jié)論可得A₁B⊥AE，故∠AEO為二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案．
解法二--向量法：（I）取AB的中點E，則DE∥BC，因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A₁D⊥平面ABC，以DE，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間坐標系，求出各點坐標，進而得到相應(yīng)向量的坐標，利用向量垂直數(shù)量積為0，可以判斷出AC₁與平面A₁BC內(nèi)兩條件相交直線都垂直，進而得AC₁⊥平面A₁BC；
（II）C到平面A₁AB的距離d=

| AC1 • n |

| n |

，其中

n

平面A₁AB的法向量，求出法向量的坐標，代入即可求出答案．
（III）分別求出平面AA₁B與平面A₁BC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．

解答：解法一--幾何法：
（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，因為A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC₁
因為BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）得AC₁⊥A₁C，所以A₁ACC₁是菱形，
所以AC=AA₁=A₁C=2，AB=A1B=2

2

，
由VC-AA1B=VA1-ABC，得h=

2 21

7

（III）設(shè)AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，連AE，由（1）所以A₁B⊥AE，所以∠AEO為二面角平面角，
在Rt△A₁BC中OE=

2

2

，AO=

3

，AE=

14

2

，所以cosα=

7

7

，所以二面角余弦

7

7

解法二--向量法：
（I）如圖，取AB的中點E，則DE∥BC，因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A₁D⊥平面ABC，以DE，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間坐標系，則A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t），

AC1

=(0，3，t)，

BA1

=(-2，-1，t)，

CB

=(2，0，0)，
由

A1C

•

CB

=0，知A₁C⊥CB，
又BA₁⊥AC₁，從而AC₁⊥平面A₁BC；
（II）由

AC1

•

BA1

=-3+t2=0，得t=

3

設(shè)平面A₁AB的法向量為

n

=(x，y，z)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(2，2，0)，所以

n • AA1 =y+ 3 z=0 n • AB =2x+2y=0

，設(shè)z=1，則

n

=(

3

，-

3

，1)
所以點C到平面A₁AB的距離d=

| AC1 • n |

| n |

=

2 21

7

（III）再設(shè)平面A₁BC的法向量為

m

=(x，y，z)，

CA1

=(0，-1，

3

)，

CB

=(2，0，0)，
所以

m • CA1 =-y+ 3 z=0 m • CB =2x=0

，設(shè)z=1，則

m

=(0，

3

，1)，
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

7

7

，根據(jù)法向量的方向可知二面角A-A₁B-C的余弦值大小為

7

7

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，點面之間距離的計算，二面角的平面角，解答立體幾何有幾何法和向量法兩種方法，前者要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理、性質(zhì)定理，要求有較強的邏輯性，后者可將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題，需要記憶大量公式和較強的計算能力．