Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx（a＞0）在x₁，x₂處分別取得極值f（x₁）和f（x₂），且|x₁-x₂|=2，f（x₁）-f（x₂）=x₂-x₁．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)x_1、x₂是方程f′（x）=0的兩根，且f（x₁）-f（x₂）=x₂-x₁求出a、c的值，確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)后令導(dǎo)函數(shù)等于0求出兩根，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定極值．

解答：解：（I）∵f（x）=ax³+cx，
∴f′（x）=3ax²+c，由f′(x)=3ax2+c=0，得

x1+x2=0 x1•x2= c 3a

f（x₁）-f（x₂）=a（x₁³-x₂³）+c（x₁-x₂）=（x₁-x₂）
{a[（x₁+x₂）²-x₁•x₂]+c}=

2

3

c•(x1-x2)
∴

2

3

c•(x1-x2)=x2-x1，∴c=-

3

2

又（x₁-x₂）²=4，∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4
∴-

4c

3a

=4，a=-

c

3

=

1

2

，∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x．
（II）令f'（x）=0，即

3

2

x2-

3

2

=0，解得x=-1，1．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

由上表可知：
在區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）上，f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（-1，1）上，f（x）是減函數(shù)，
因此，當(dāng)x=-1時，f（x）有極大值為1；
當(dāng)x=1時，f（x）有極小值為-1．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．