Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)A在橢圓C上，，cos，，過點(diǎn)F₂且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）線段OF₂上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）易知△AF₁F₂為Rt△，由cos及可求得，由橢圓定義可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（II）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），直線方程為y=k（x-1）（k≠0），由，可得=0，即PQ⊥MN，故①，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，代入①可得m，k的關(guān)系式，分離出m利用基本不等式即可求得m的取值范圍；
解答：解：（Ⅰ）由題意∠AF₁F₂=90°，cos，
又，
所以，2a==4，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即所求橢圓方程為．
（Ⅱ）存在這樣的點(diǎn)M符合題意．
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），直線PQ的斜率為k（k≠0），
又F₂（1，0），則直線PQ的方程為y=k（x-1），
由消y得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理得，故，
又點(diǎn)N在直線PQ上，所以N．
由，可得=0，即PQ⊥MN，
所以，整理得m==，
所以在線段OF₂上存在點(diǎn)M（m，0）符合題意，其中m．
點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．