Question

（2009•泰安一模）如圖，點(diǎn)F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為

1

2

．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從

c

a

=

1

2

著手分析a、b、c之間的關(guān)系，再結(jié)合條件BC⊥BF，且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切，可求得a，從而可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，利用角平分線的性質(zhì)定理得：

|PF|

|FQ|

=

|PN|

|NQ|

，再結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

c

a

=

1

2

，
∴c=

1

2

a，b=

a2-c2

=

3

2

a，
又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO=

|OB|

|OF|

=

b

c

=

3

，
∴∠BFO=

π

3

．|BF|=a．
∵BC⊥BF，
∴∠BCF=

π

6

，
∴|CF|=2a．
∴B、C、F三點(diǎn)確定的圓M的圓心M的坐標(biāo)為：（

a

2

，0），半徑r=a；
又圓M與直線x+

3

y+3=0相切，
∴圓心M到直線x+

3

y+3=0的距離等于r，即

| a 2 +0+3|

2

=a，又a＞0，
∴a=2，
∴b=

3

．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，
則由角平分線的性質(zhì)定理得：

|PF|

|FQ|

=

|PN|

|NQ|

，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4，
∴

|PF|

|FQ|

=

4-|PF|

4-|FQ|

，
∴|PF|=|QF|，即F為PQ的中點(diǎn)，
∴PQ⊥x軸，這與已知“過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)”矛盾，
∴假設(shè)不成立，即在x軸上不存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，求橢圓的方程，關(guān)鍵在于根據(jù)題意從角入手分析出a、b、c之間的關(guān)系，難點(diǎn)在于（Ⅱ）中橢圓定義的靈活應(yīng)用，屬于難題．