Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（1）=1，且對于任意的x∈R，都有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（lgx）＞

lgx+1

2

的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=f（x）-

1

2

x，由f′（x）＜

1

2

，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-

1

2

x，由f′（x）＜

1

2

，得到g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）為減函數(shù)．
又f（1）=1，∵f（lgx）＞

lgx+1

2

=

1

2

lgx+

1

2

，
∴g（lgx）=f（lgx）-

1

2

lgx＞

1

2

=g（1）=f（1）-

1

2

=g（lg10），
∴l(xiāng)gx＜lg10，0＜x＜10，故不等式f（lgx）＞

lgx+1

2

的解集為（0，10），
故答案為：（0，10）．

點(diǎn)評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題，屬于中檔題．