Question

【題目】已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：
①f（0）=f（1）=0；
②對(duì)所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．
若對(duì)所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，則m的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依題意，定義在[0，1]上的函數(shù)y=f（x）的斜率|k|＜ ，
依題意可設(shè)k＞0，構(gòu)造函數(shù)f（x）= （0＜k＜ ），滿(mǎn)足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．
當(dāng)x∈[0， ]，且y∈[0， ]時(shí)，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| ﹣0|=k× ＜ ；
當(dāng)x∈[0， ]，且y∈[ ，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+ ）﹣k|= ＜ ；
當(dāng)y∈[0， ]，且x∈[ ，1]時(shí)，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜ ；
當(dāng)x∈[ ，1]，且y∈[ ，1]時(shí)，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣ ）= ＜ ；
綜上所述，對(duì)所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜ ，
∵對(duì)所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，
∴m≥ ，即m的最小值為 ．
故選：B．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．