Question

已知函數y=

3

sin2x+cos2x+

1

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求函數y的最大值及y取最大值時x的集合；
（Ⅱ）求函數y的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得y=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，由三角函數的性質易得最值和x值；
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得單調遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）化簡可得y=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∵x∈R，∴2x+

π

6

∈R
∴函數y的最大值是2+

1

2

=

5

2

，此時2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

∴y取最大值時x的取值集合是{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴函數y的單調遞減區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）

點評：本題考查三角函數的恒等變換，涉及三角函數的單調性和最值，屬基礎題．