已知數(shù)列{an}滿足關(guān)系式，且a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．
【答案】分析：（1）根據(jù)遞推公式，計(jì)算即可．
（2）是個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將從分母有理化，放縮兩個(gè)角度適當(dāng)變形，考慮正負(fù)相消，使兩端和式出現(xiàn)命題中的形式．
解答：解：（Ⅰ）由題意，知，，．…（3分）
（Ⅱ）由，及a1=2，知an＞0．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=2滿足，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，成立，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，.．
下面用分析法證明：．
只需證，只需證，
只需證，只需證，此式顯然成立．
所以成立．從而．
由（1），（2）可知，對一切k∈N*，成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知，
而


∴
∴
即
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式的直接應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，及放縮法證明不等式．無法再進(jìn)一步計(jì)算整理，故考慮逐項(xiàng)轉(zhuǎn)化，達(dá)到目的為止．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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