如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（Ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值；
（Ⅱ）求線段的長的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

解析試題分析：（Ⅰ）隨點(diǎn)運(yùn)動而變化，故設(shè)點(diǎn)表示，進(jìn)而化簡整體消去變量；（Ⅱ）點(diǎn)的位置由直線，生成，所以可用兩直線方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出，它必是的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐標(biāo)求出圓的方程，方程必含有參數(shù)，消去一個后，利用等式恒成立方法求出圓所過定點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：（Ⅰ），令，則由題設(shè)可知，
∴直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，
所以，（），從而有.
（Ⅱ）由題設(shè)可以得到直線的方程為，
直線的方程為，
由，  由，
直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn).
又，
等號當(dāng)且僅當(dāng)即時取到，故線段長的最小值是.
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，故有
，又，所以以為直徑的圓的方程為
，令解得，
以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)和.
考點(diǎn)：直線的交點(diǎn)，圓的方程，圓過定點(diǎn)問題，基本不等式的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準(zhǔn)線過橢圓N： 的左焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x2，曲線M上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).

（1）設(shè)，證明：；
（2）設(shè)直線AB的方程是，過、兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)、，若動點(diǎn)滿足．
（1）求動點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線：的距離最�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，且橢圓過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為拋物線的焦點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)滿足

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)，過點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為，連結(jié)、并延長交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為,問是否為定值，若是求出該定值，若不是說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)(0，m) (m>0)，且與直線y＝－m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1，記該圓的圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個公共點(diǎn)，使它們在該點(diǎn)處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的動直線，與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn). 當(dāng)軸時，，當(dāng)軸時，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若的中點(diǎn)為，且，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，則
是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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