Question

函數(shù)f（x）=x-3sinx²在[0，+∞）上的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

Answer 1

【答案】分析：對f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=1-6xcosx²．通過特殊值代入，結(jié)合函數(shù)圖象觀察可得f（x）在（0，π）上共有5個單調(diào)區(qū)間．再用零點(diǎn)存在性質(zhì)定理加以驗(yàn)證，可得函數(shù)f（x）在（0，π）上有4個零點(diǎn)，而在（π，+∞）上沒有零點(diǎn)．結(jié)合f（0）=0可得f（x）在[0，+∞）上總共5個零點(diǎn)．
解答：解：∵函數(shù)解析式為f（x）=x-3sinx²，
∴f'（x）=1-3（cosx²）•2x=1-6xcosx²．
可得f'（0）=1＞0，f'（）=1-＜0，f'（）=1＞0，
f'（）=1-6＜0，f'（）=1+6＞0，
因此，f'（x）在區(qū)間（0，），（，），（，），（，）上分別有一個零點(diǎn)
將這些零點(diǎn)分別設(shè)為x₁、x₂、x₃、x₄，
可得函數(shù)f（x）=x-3sinx²在區(qū)間（0，x₁），（x₂，x₃），（x₄，π）上
是增函數(shù)；在區(qū)間（x₁，x₂），（x₃，x₄）上是減函數(shù)．
即f（x）在（0，π）上共有5個單調(diào)區(qū)間
∵f（0.1）＞0，f（）=-3＜0，f（）=＞0，
f（）=-3＜0，f（）=＞0
∴f（x）在（0.1，）、（，）、（，）、（，）上各有一個零點(diǎn)
而f（0）=0，且x＞π時f（x）=x-3sinx²＞π-3＞0
∴f（x）在[0，π]上有5個零點(diǎn)，而在（π，+∞）上沒有零點(diǎn)．因此函數(shù)f（x）在[0，+∞）上總共5個零點(diǎn)．
故選：C
點(diǎn)評：本題給出函數(shù)f（x）=x-3sinx²，求它在[0，+∞）上的零點(diǎn)個數(shù)．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理等知識，屬于中檔題．