Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中, 平面， ，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，設(shè)直線與平面交于點(diǎn).

（1）已知平面平面，求證： .

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）由三角形中位線定理可得,利用線面平行的判定定理可得平面,在根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得；（2）由勾股定理可得 ， ∵平面，由此可以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式.

試題解析：（1）∵, 平面, 平面.

∴平面,

∵平面,平面平面

∴.

（2）∵底面是菱形， 為的中點(diǎn) ∴

∴ ∵平面，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則

∴， ，

設(shè)平面的法向量為，有得

設(shè)，則，

則解之得，∴，

設(shè)直線與平面所成角為

則

∴直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的性質(zhì)與判定以及利用空間向量求線面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.