Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ ，且f（1）=2．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）用定義法證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x+ ，且f（1）=2，

可得1+m=2，即有m=1；

（2）解：f（x）=x+ 為奇函數(shù)．

理由：定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱．

且f（﹣x）=﹣x+ =﹣f（x），

則f（x）為奇函數(shù)；

（3）證明：設(shè)x1＞x2＞1，

則f（x1）﹣f（x2）=x1+ ﹣（x2+ ）

=（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（1﹣ ），

由x1＞x2＞1，可得x1x2＞1，x1﹣x2＞0，1﹣ ＞0，

可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

即f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)

【解析】（1）代入x=1，解方程可得m的值；（2）f（x）=x+ 為奇函數(shù)．運(yùn)用奇函數(shù)的定義，注意定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（﹣x）=﹣f（x）；（3）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，設(shè)值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論等步驟．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱才能正確解答此題．