Question

1．已知⊙C：x²+y²-6x+5=0，點(diǎn)A、B在⊙C上，且AB=2$\sqrt{3}$，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的最大值為8．

Answer 1

分析 利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過(guò)坐標(biāo)關(guān)系，將$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$  轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$，用根據(jù)AB=2$\sqrt{3}$得到M點(diǎn)的軌跡，由圖形的幾何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最大值，得到本題答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圓C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圓心C（3，0），半徑CA=2．
∵點(diǎn)A，B在圓C上，|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴|CA|²-|CM|²=（$\frac{1}{2}$|AB|）²，
即|CM|=1．
點(diǎn)M在以C為圓心，半徑r=1的圓上．
∴|OM|≤|OC|+r=3+1=4．
∴|$\overrightarrow{OM}$|≤4，
|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≤8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想，可利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過(guò)坐標(biāo)關(guān)系，將$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$  轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$是解題的關(guān)鍵，考查向量的幾何意義，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．