Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱(chēng)集合M是“Ω集合”．給出下列4個(gè)集合：
①
②M={（x，y）|y=e^x-2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“Ω集合”的序號(hào)是（ ）
A．②③
B．③④
C．①②④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于①，利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．
對(duì)于②，畫(huà)出圖象，說(shuō)明滿足Ω集合的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于③，畫(huà)出函數(shù)圖象，說(shuō)明滿足Ω集合的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于④，畫(huà)出函數(shù)圖象，取一個(gè)特殊點(diǎn)即能說(shuō)明不滿足Ω集合定義．
解答：解：對(duì)于①y=是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，
所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足Ω集合的定義；
在另一支上對(duì)任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不滿足Ω集合的定義，不是Ω集合．
對(duì)于②M={（x，y）|y=e^x-2}，如圖（2）如圖紅線的直角始終存在，
對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足Ω集合的定義，
所以是Ω集合；正確．
對(duì)于③M={（x，y）|y=cosx}，如圖（3），
對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
例如（0，1）、（π，0），滿足Ω集合的定義，所以M是Ω集合；正確．
對(duì)于④M={（x，y）|y=lnx}，如圖（4）取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是Ω集合．

所以②③正確．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題．