Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0．
（1）證明：f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）若4f(

m+1

4

)≥3，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

（1）證明：取y=1，則f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，x₁-x₂+1＞1，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0，所以f（x₁-x₂+1）＜0．
f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1
=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）-1+1=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）．
因?yàn)閒（x₁-x₂+1）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁）．
所以函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由4f(

m+1

4

)≥3，得4f(

m+1

4

)=4f(

m

4

)-1≥3．
所以4f(

m

4

)≥4，f(

m

4

)≥1．
因?yàn)閒（x）為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，且f（0）=1
所以

m

4

≤0．
則m≤0．
所以實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，0]．