Question

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千年時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

【答案】分析：（1）由年利潤W=年產(chǎn)量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本，又由，且年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．我們易得年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．
解答：解：（1）當(dāng)；
當(dāng)x＞10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=98--2.7x．
∴W=

（2）①當(dāng)0＜x＜10時(shí)，由W'=8.1-=0，得x=9，
且當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，W'＞0；當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，W'＜0，
∴當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且
②當(dāng)x＞10時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即x=時(shí)，W=38，
故當(dāng)x=時(shí)，W取最大值38．
綜合①②知當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．