Question

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
（1）求的極值；
（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，取得極小值0（2）存在隔離直線

解析試題分析：(1) ，
．        
當(dāng)時(shí)，．         
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減； 
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．  
(2) ：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．          
設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．                                
由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．
，                             
由，得．                   
下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．
令，則
，                
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．   
從而，即恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．
考點(diǎn)：函數(shù)極值最值及不等式恒成立問題
點(diǎn)評(píng)：第二問中首先找到兩曲線的交點(diǎn)是求解本題的關(guān)鍵，給定信息中滿足的不等式恒成立將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值滿足大于等于零或小于等于零，這樣即可利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)求解