Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過(guò)證明DC⊥AD，PA⊥DC，推出DC⊥面PAD，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PAD⊥平面PCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積，求AC與PB所成的角的余弦值．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
證明：（1）∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴DC⊥AD，又PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，
∴DC⊥面PAD，又DC?面PDC，
∴平面PAD⊥平面PCD；
解：（2）以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，1），D（1，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），
∴

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），設(shè)AC與PB所成的角為θ（0＜θ＜90°）
∴cosθ=|cos＜

AC

，

PB

＞|=|

AC • PB

| AC |•| PB |

|=|

2

2 • 5

|=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定定理的證明，異面直線(xiàn)所成角的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．