Question

已知數(shù)列{a_n}滿足奇數(shù)項a₁，a₃，a₅，…成等差數(shù)列{a_2n-1}（n∈N₊），而偶數(shù)項a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列{a_2n}（n∈N₊），且a₁=1，a₂=2，a₂，a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

S2n

2n

，試比較b_n+1與b_n的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：

分析：（Ⅰ）先利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義求得a_2n-1=2n-1，a2n=2n，進而利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式分別求得奇數(shù)項的和及偶數(shù)項的和，即得結(jié)論．注意分類討論．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論得bn+1-bn=

(n+1)2+2n+2-2

2n+1

-

n2+2n+1-2

2n

=

4-(n-1)2

2n+1

．即得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_2n-1}（n∈N₊）的公差為d，等比數(shù)列{a_2n}（n∈N₊）的公比為q，
則2（1+d）=2+2q，4q=（1+d）+（1+2d），解得q=d=2．…（2分）
于是a_2n-1=2n-1，a2n=2n，即數(shù)列的通項an=

n，n為奇數(shù) 2 n 2 ，n為偶數(shù).

…（4分）
于是當n為偶數(shù)時，數(shù)列奇數(shù)項的和為[

1+(2× n 2 -1)

2

]×

n

2

=

n2

4

，偶數(shù)項的和為

2(1-2 n 2 )

1-2

=2

n

2

+1-2，
故Sn=

n2

4

+2

n

2

+1-2．…（6分）
當n為奇數(shù)時，Sn=Sn-1+an=

(n-1)2

4

+2

n+1

2

-2+n=2

n+1

2

+

n2+2n-7

4

．
于是Sn=

2 n+1 2 + n2+2n-7 4 ，n為奇數(shù) n2 4 +2 n 2 +1-2，n為偶數(shù).

…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=

S2n

2n

=

n2+2n+1-2

2n

，bn+1-bn=

(n+1)2+2n+2-2

2n+1

-

n2+2n+1-2

2n

=

4-(n-1)2

2n+1

．…（10分）
當n≤3時，b_n+1≥b_n；當n＞3時，b_n+1＜b_n．…（13分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義性質(zhì)和求和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的分類討論思想及運算求解能力，屬中檔題．