Question

求直線a:2x+y-4=0關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程.

Answer 1

剖析：由平面幾何知識(shí)可知若直線a、b關(guān)于直線l對(duì)稱,它們具有下列幾何性質(zhì):(1)若a、b相交,則l是a、b交角的平分線;(2)若點(diǎn)A在直線a上,那么A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B一定在直線b上,這時(shí)AB⊥l,并且AB的中點(diǎn)D在l上;(3)a以l為軸旋轉(zhuǎn)180°,一定與b重合.使用這些性質(zhì),可以找出直線b的方程.解此題的方法很多,總的來說有兩類:一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程的形式,求出直線方程;另一類是直接由軌跡求方程.

解：由解得a與l的交點(diǎn)E(3,-2),E點(diǎn)也在b上.

    方法一:設(shè)直線b的斜率為k,又知直線a的斜率為-2,直線l的斜率為-.

則=.

    解得k=-.

    代入點(diǎn)斜式得直線b的方程為y-(-2)=-(x-3),

    即2x+11y+16=0.

方法二:在直線a:2x+y-4=0上找一點(diǎn)A(2,0),設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x₀,y₀),

    由

    解得B(,-).

    由兩點(diǎn)式得直線b的方程為=,

    即2x+11y+16=0.

    方法三:設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于l:3x+4y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q(x₀,y₀),則有

   

    解得x₀=,y₀=.

    Q(x₀,y₀)在直線a:2x+y-4=0上,

    則2×+-4=0,

    化簡(jiǎn)得2x+11y+16=0是所求直線b的方程.

    方法四:設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),直線a上的點(diǎn)Q(x₀,4-2x₀),且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱,則有

   

    消去x₀,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍).

講評(píng)：本題體現(xiàn)了求直線方程的兩種不同的途徑,方法一與方法二,除了點(diǎn)E外,分別找出確定直線位置的另一個(gè)條件:斜率或另一個(gè)點(diǎn),然后用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求出方程;方法三與方法四是利用直線上動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì),直接由軌跡求方程,在使用這種方法時(shí),要注意區(qū)分動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù).本題綜合性較強(qiáng),只有對(duì)坐標(biāo)法有較深刻的理解,同時(shí)有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成此題.