Question

16．不等式kx+1≤e^x恒成立，則實數(shù)k的取值是1
不等式x+a≤e^x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]
不等式x+1≤ae^x恒成立．則實數(shù)α的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 （1）因為y=kx+1恒過點（0，1），且點（0，1）在y=e^x，所以y=kx+1是y=e^x的切線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出k的值即可．
（2）把給出的不等式分離參數(shù)a，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)的最小值，則答案可求，
（3）由（1）可知k=y′|_x=0=ae⁰≥1，解得即可．

解答 解：（1）∵y=kx+1恒過點（0，1），且點（0，1）在y=e^x，
∴y=kx+1是y=e^x的切線方程，
∴k=y′|_x=0=e⁰=1，
∴不等式kx+1≤e^x恒成立，則實數(shù)k=1，
（2）解：對任意實數(shù)x，不等式x+a≤e^x恒成立恒成立，即a≤e^x-x恒成立，
所以 a≤e^x-x的最小值．
令 f（x）=e^x-x，則 f'（x）=e^x-1，
由x＜0時f'（x）＜0，當(dāng)x=0時，f'（x）=0，當(dāng)x＞0時f'（x）＞0，
那么f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=0處取最小值f（0）=1，
因此，a的取值范圍是（-∞，1]．
（3）由（1）知，y=x+1是y=e^x的切線方程，
∵x+1≤ae^x恒成立，
∴k=y′|_x=0=ae⁰≥1，
∴當(dāng)a≥1時，x+1≤ae^x恒成立，
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：（1）：1，（2）：（-∞，1]，（3）：[1，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了分離變量法及函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．