Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N^*，S_n是和a_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n是和a_n的等差中項(xiàng)，知2S_n=，且a_n＞0，由此能夠證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由a_n=n，則，故=2（），由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n是和a_n的等差中項(xiàng)，
∴2S_n=，且a_n＞0，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=+a₁，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=+a_n-1，
∴2S_n-2S_n-1=，
即，
∴=a_n+a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，且a_n=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，
則，
∴=2（），
∴
=2[（1-）+（）+…+（）]
=2（1-）＜2．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．