Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²-n-30．
（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)，60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)．
（2）n為何值時(shí)，a_n=0，a_n＞0，a_n＜0．
（3）該數(shù)列前n項(xiàng)和S_n是否存在最值？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a_n=60，則60=n²-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．由此可知60是此數(shù)列的第10項(xiàng)．
（2）令n²-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．a(chǎn)₆=0．令n²-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．由此可知當(dāng)0＜n＜6（n∈N^*）時(shí)，a_n＜0．
（3）由a_n=n²-n-30=（n-

1

2

）²-30

1

4

，n∈N^*，知{a_n}是遞增數(shù)列，故S_n存在最小值S₅=S₆，S_n不存在最大值．

解答：解：（1）由a_n=n²-n-30，得
a₁=1-1-30=-30，
a₂=2²-2-30=-28，
a₃=3²-3-30=-24．
設(shè)a_n=60，則60=n²-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．
∴60是此數(shù)列的第10項(xiàng)．
（2）令n²-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．
∴a₆=0．
令n²-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．
∴當(dāng)n＞6（n∈N^*）時(shí)，a_n＞0．
令n²-n-30＜0，解得-5＜n＜6．
又n∈N^*，∴0＜n＜6．
∴當(dāng)0＜n＜6（n∈N^*）時(shí)，a_n＜0．
（3）由a_n=n²-n-30=（n-

1

2

）²-30

1

4

，n∈N^*，
知{a_n}是遞增數(shù)列，
且a₁＜a₂＜＜a₅＜a₆=0＜a₇＜a₈＜a₉＜，
故S_n存在最小值S₅=S₆，S_n不存在最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．