Question

如圖，ABCD的邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，E和F是l上的兩個不同點(diǎn)，且EA=ED，F(xiàn)B=FC，E′和F′是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，E′E和F′F都與平面ABCD垂直，
（Ⅰ）證明：直線E′F′垂直且平分線段AD；
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面體ABCDEF的體積。

Answer 1

(1)證明：由于EA=ED且ED′⊥面ABCD， ∴E′D=E′C， ∴點(diǎn)E′在線段AD的垂直平分線上，同理點(diǎn)F′在線段BC的垂直平分線上， 又ABCD是四方形， ∴線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線， 即點(diǎn)E′F′都在線段AD的垂直平分線上， 所以，直線E′F′垂直平分線段AD。
(2)解：連接EB、EC， 由題意知多面體ABCD可分割成正四棱錐E-ABCD 和正四面體E-BCF兩部分， 設(shè)AD中點(diǎn)為M，在Rt△MEE′中， 由于ME′=1，， ∴， ∴VE-ABCD， 又VE-BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC ， ∴多面體ABCDEF的體積為VE-ABCD+VE-BCF=。