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已知x、y、z均為正實數，且x+y+z=1．求證：
x2
y+z
+
y2
x+z
+
z2
x+y
≥
1
2
．
考點：一般形式的柯西不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：由條件柯西不等式得 [(y+z)+(x+z)+(x+y)](
x2
y+z
+
y2
x+z
+
z2
x+y
)≥(x+y+z)2，再根據x+y+z=1，利用不等式的性質證得結論．
解答： 證明：x、y、z均為正實數，由柯西不等式得 [(y+z)+(x+z)+(x+y)](
x2
y+z
+
y2
x+z
+
z2
x+y
)≥(x+y+z)2．
∵x+y+z=1，∴
x2
y+z
+
y2
x+z
+
z2
x+y
≥
1
2
．
點評：本題主要考查柯西不等式的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

要采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，3，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入區(qū)間[1，450]的人數為n1，編號落入區(qū)間[451，750]的人數為n2，其余的人數為n3，則n1：n2：n3=（　　）
A、15：10：7
B、15：9：8
C、1：1：2
D、14：9：9

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科目：高中數學 來源： 題型：

橢圓
x2
4
+
y2
2
=1的離心率是（　　）
A、
2
4
B、
1
2
C、
2
2
D、
3
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x，y滿足不等式組
x≥0
y≥0
x+y≤2
，則函數z=sin（x+2y）的最大值為（　�。�
A、1B、0
C、sin4D、sin2

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科目：高中數學 來源： 題型：

不等式組
x≥0
x+y≤3
y≥x+1
，表示的平面區(qū)域為Ω，直線y=kx-1與區(qū)域Ω有公共點，則實數k的取值范圍為（　　）
A、（0，3]
B、[-1，1]
C、（-∞，3]
D、[3，+∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等差數列{an}滿足：a4=6，a6=10．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設等比數列{bn}的各項均為正數，Tn為其前n項和，若b1=1，b3=a3，求Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足a1=a，an+1=Sn+(-1)n，n∈N*，且{an+
2
3
(-1)n}是等比數列．
（1）求a的值；
（2）求出通項公式an；
（3）求證：
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
＜
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

試證明函數f（x）=-
1
x+1
在（-∞，-1）上是單調增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=3n+k．
（1）求k的值及數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足anbn=n，求數列{bn}的前n項和Tn．

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