Question

7．記事件A為“直線ax-by=0與圓（x-2$\sqrt{2}$）²+y²=6相交”．
（1）若將一顆骰子先后擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，求事件A發(fā)生的概率．
（2）若實(shí)數(shù)a、b滿足（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²≤4，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a＜$\sqrt{3}b$，由列舉法求出事件A包含的基本事件個數(shù)m=6+5+4+3+2+1=21，而總的方法種數(shù)為n=6×6=36，由此能求出事件A發(fā)生的概率．
（Ⅱ）依題意為幾何概型，a＜$\sqrt{3}$b與（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²≤4的公共面積為直線a=$\sqrt{3}b$與圓（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=4相交的弓形的面積，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心（$\sqrt{3}$，1）在直線a=$\sqrt{3}b$上，由此能求出事件A發(fā)生的概率．

解答 解：（1）由題意可得：直線ax-by=0與圓（x-2$\sqrt{2}$）²+y²=6相交，
所以圓心（2$\sqrt{2}$，0）到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{2}a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＜$\sqrt{6}$，即a²＜3b²，
又a、b均大于0，故a＜$\sqrt{3}b$，
當(dāng)a=1時，b=1，2，3，4，5，6；當(dāng)a=2時，b=2，3，4，5，6；當(dāng)a=3時，b=3，4，5，6；
當(dāng)a=4時，b=4，5，6；當(dāng)a=5時，b=5，6；當(dāng)a=6時，b=6．
∴事件A包含的基本事件個數(shù)m=6+5+4+3+2+1=21，
而總的方法種數(shù)為n=6×6=36
故事件A發(fā)生的概率為P（A）=$\frac{m}{n}$=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）依題意為幾何概型，a＜$\sqrt{3}$b與（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²≤4的公共面積為：
直線a=$\sqrt{3}b$與圓（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=4相交的弓形的面積，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：
圓心（$\sqrt{3}$，1）到直線a=$\sqrt{3}b$的距離d′=0，
∴直線a=$\sqrt{3}b$與圓（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=4相交的弓形的面積為圓的面積的一半，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式、列舉法和幾何概型的合理運(yùn)用．